16 сентября в 16:30 состоится очередное заседание семинара «Компьютерная алгебра». Руководитель семинара – д.ф.-м.н. С.А. Абрамов.
На заседании семинара будет представлен доклад на тему:
«Грациозные базисы в пространствах аналитических решений дифференциальных и разностных уравнений»
Автор доклада:
Т.М. Садыков (РЭУ им. Г.В. Плеханова)
Аннотация доклада
Решение системы дифференциальных или разностных уравнений с конечномерным пространством решений в классе аналитических функций обычно означает нахождение такого базиса этого пространства, элементы которого линейно независимы в некоторой непустой области комплексного пространства переменных. Выбор такого базиса, как правило, отнюдь не единственен и обычно существенно зависит от области, в которой должны быть определены решения.
В докладе рассматриваются отдельные семейства обыкновенных дифференциальных уравнений, разностных уравнений с одной неизвестной функцией и систем уравнений в частных производных, обладающих конечномерными пространствами решений. Особое внимание уделяется случаю гипергеометрических дифференциальных уравнений — как обыкновенных, так и уравнений в частных производных. Помимо переменных, система уравнений часто содержит параметры — величины, обозначенные символами, по которым не производится дифференцирование искомой функции (и для которых не вычисляются конечные разности), но которые могут принимать различные значения, как правило, заранее неизвестные. В таких случаях часто важно знать, как решения рассматриваемых уравнений зависят от выбора значений этих параметров.
Зависимость базиса в пространстве решений голономной системы уравнений от ее параметров зачастую оказывается весьма сложной. Как в классических, так и в современных исследованиях значительное внимание уделяется поиску таких базисов в пространствах решений подобных систем, которые не вырождаются ни при каких значениях параметров (то есть элементы которых остаются линейно независимыми независимо от значений, принимаемых алгебраически независимыми символьными параметрами системы уравнений). В докладе рассматриваются линейные дифференциальные уравнения с полиномиальными коэффициентами, системы таких уравнений, а также разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Приводятся явные виды базисов в пространствах решений для некоторых семейств таких уравнений; элементы этих базисов сохраняют линейную независимость при любых значениях алгебраически независимых символьных параметров.
Известно, что теория вычетов является весьма полезным инструментом для решения аналитических дифференциальных и разностных уравнений в комплексной области. В докладе используется понятие многомерного вычета Гротендика и методы его вычисления для построения решений систем дифференциальных уравнений в частных производных гипергеометрического типа, линейно независимые ростки которых порождают все пространство решений и обсуждается их программная реализация в системах компьютерной алгебры.
Заседание семинара будет проходить в дистанционном режиме через Zoom. Ссылка для подключения будет направлена участникам семинара по электронной почте. По вопросу участия в семинаре просьба обращаться по электронной почте: moscowcaconf@gmail.com
